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Merci à Georges Laloire
pour sa relecture attentive

Lumière, diaphragme et pupilles
Optiques épaisses, deuxième partie

Emmanuel Bigler

ENSMM, 26 chemin de l’Épitaphe, F-25030 Besançon cedex,
mél : Mail

Table des matières

• 1 Réglage du diaphragme et éclairement dans l’image formée par une lentille mince

  • 1.1 L’œil humain, la lumière naturelle et la « luminosité » des images

  • 1.2 Formule photométrique fondamentale

  • 1.3 Nombre d’ouverture et ouverture numérique

  • 1.4 Origine des graduations des diaphragmes

  • 1.5 Ouverture géométrique ou photométrique ?

  • 1.6 Facteur de soufflet en macro, dans le modèle de la lentille mince

• 2 Pupille d’entrée et pupille de sortie dans une optique épaisse

  • 2.1 Définition des pupilles

  • 2.2 Lien entre grandissement pupillaire et position des pupilles

  • 2.3 Formules photométriques et nombre d’ouverture dans le cas général

  • 2.4 Nombre d’ouverture et facteur de soufflet pour une optique montée à l’envers

Résumé

Dans ce deuxième article consacré aux optiques épaisses, nous abordons les questions relatives au diaphragme d’un objectif photographique, son réglage et son influence sur la luminosité de l’image et sur le réglage correct de la pose. Après un rappel sur ce qu’on peut dire des réglages de luminosité classiques dans le modèle de la lentille mince, on introduit la notion de pupille d’entrée et de sortie pour un système épais, c’est à dire, de fait presque tous les objectifs photographiques de qualité. On examinera en particulier comment un système épais dissymétrique se comporte pour le réglage du diaphragme en macro-photo, et on verra que beaucoup d’objectifs de chambre de formule symétrique ou quasi-symétrique se comportent de façon très voisine d’une lentille mince.

Introduction

La présence d’un diaphragme à iris (figure 1) formé de nombreuses lamelles dans tous les objectifs photographiques n’est pas particulièrement récente, ni même universelle dans les appareils actuels. En effet on trouve dans les objectifs du XIXe siècle différents systèmes de réglage du diaphragme, en particulier des systèmes à tourelle ou à insertion (diaphragmes à vannes) permettant d’installer des ouvertures fixes, mécaniquement plus simples que le système d’iris à lamelles.

Figure 1 : Le diaphragme à iris n’est-il pas à lui seul l’emblème de la photographie ? (ici, sur un obturateur Compound)

D’autre part, de nombreux appareils compacts modernes ont un obturateur-diaphragme combiné à deux lamelles découpées selon une forme un peu biscornue ; dans ces systèmes, l’utilisateur ne sait même plus quel diaphragme et quelle vitesse sont en place lors de la prise de vue... nous laisserons donc bien entendu de côté ces systèmes automatiques simples et pratiques au demeurant, pour nous intéresser au classique diaphragme qui, dans les optiques de chambre (qu’elles soient à obturateur central ou à obturateur à lamelles placées juste derrière l’objectif ou à rideaux au plan focal), se trouve toujours placé entre les lentilles.

Traditionnellement, c’était l’un des premiers chapitres de l’apprentissage photographique que de décrire l’effet du diaphragme sur la luminosité de l’image et de définir la manière dont sont graduées les échelles de diaphragme. Ensuite on expliquait comment on est tenu par un compromis entre la luminosité de l’image et la profondeur de champ, le choix étant : diaphragme fermé = grande profondeur de champ mais temps de pose long ; diaphragme ouvert = faible profondeur de champ mais temps de pose court.

Avec les films de faible sensibilité disponibles jusqu’aux années 1950-60, ce compromis était tellement présent dans la pratique photographique qu’il était inimaginable de ne pas en tenir compte à chaque prise de vue. L’amélioration des sensibilités des films, puis l’automatisation et la pression mise sur les photographes, surtout les amateurs, dans le sens de la prise de vue instinctive et rapide, ont sans doute progressivement fait passer au second plan ces questions de base du réglage d’exposition photographique. L’augmentation régulière de la sensibilité équivalente des appareils numériques jusqu’à dépasser 10000 ISO sous certaines conditions, ne fait qu’accentuer cette tendance.

L’utilisation d’appareils classiques de moyen et grand format est donc l’occasion de se remémorer quelques principes simples.

Pour expliquer le rôle et la manière correcte de choisir l’ouverture d’un diaphragme photographique dans le compromis entre grande vitesse d’obturation et profondeur de champ, un modèle basé sur la lentille mince suffit ; ce sera dans un autre article que seront détaillées les questions relatives à la profondeur de champ et la diffraction dans les optiques épaisses.

Nous commencerons donc par rappeler les formules photométriques classiques dans le modèle de la lentille mince et comment ces formules doivent être éventuellement modifiées dans le cas des objectifs épais. On introduira la notion de pupille, les pupilles sont les images du diaphragme données vers l’avant et vers l’arrière par chaque moitié du système optique. On verra en particulier qu’une classe très importante d’objectifs photographiques, les formules symétriques et quasi-symétriques, se comportent pratiquement comme une lentille mince pour ce qui est des propriétés photométriques... à quelques détails près.

A nos lecteurs qui ne sont pas familiers avec les systèmes optiques épais et la terminologie associée, en particulier la notion de points nodaux et de points ou plans principaux, nous recommandons la lecture du premier article sur le sujet [1] ou bien d'un traité d’optique géométrique classique [2].

Les lecteurs épris de rigueur pourront lire le détail des différents calculs dans une annexe technique, ne seront présentées ici que quelques formules simples et utiles sans démonstration.

1 Réglage du diaphragme et éclairement dans l’image formée par une lentille mince

1.1 L’œil humain, la lumière naturelle et la « luminosité » des images

Commençons par le cas le plus simple, celui d’une optique photographique représentée par une simple lentille mince convergente. On sait que plus le diaphragme est ouvert, plus l’image est lumineuse. La quantité qui intéresse le détecteur d’images, que ce soit un film ou un capteur silicium, c’est l’éclairement, c’est à dire la quantité de lumière (on peut aussi le voir comme un nombre de photons ou une quantité d’énergie) tombant par unité de surface et par seconde sur le film. L’ unité d’éclairement est le lux (en unités photométriques visuelles) ou le watt par mètre carré (en unités photométriques énergétiques). Par exemple on dira que l’éclairement solaire reçu sur Terre est de l’ordre de 50000 à 100000 lux sous les latitudes moyennes à midi, ou que l’éclairement énergétique solaire est de l’ordre du kilowatt par mètre carré avant l’entrée dans l’atmosphère, mais moins de la moitié, soit quelques centaines de watts par mètre carré sont effectivement reçus au niveau du sol sous forme de lumière visible [3], [4], [5].

À ce point de la discussion, il convient de rappeler pourquoi il existe des unités de photométrie visuelle et des unités de photométrie énergétique. La raison en est que l’œil humain possède une courbe de sensibilité à la lumière qui présente un maximum dans le jaune-vert en vision de jour, autour de 550 nanomètres (nm en abrégé, voir figure 2).

On dit couramment que la lumière visible s’étend entre 400 et 800 nm (de 0,4 à 0,8 µm) ; de fait, au-delà de 700 nm, la sensibilité est très faible, ce qui explique qu’il y a peu de films qui sont sensibles au-delà de 700 nm, du moins les films courants pour usage documentaire ou artistique dont le rendu doit être en accord avec la réponse de l’œil. Il existe bien entendu des films à sensibilité étendue dans le rouge, voire dans le proche infra-rouge ; mais les besoins en imagerie militaire ou scientifique, applications traditionnelles de ces films, sont aujourd’hui avantageusement satisfaits par les capteurs d’images silicium. Les posemètres et les capteurs d’images silicium ont en effet une sensibilité qui s’étend jusque dans l’infra-rouge, où elle peut même être meilleure que dans le visible ; d’où le filtrage « en bleu » des posemètres à élément silicium pour l’usage photographique dans le visible, et le filtre« infra-rouge » qui équipe les capteurs des appareils photo numériques courants.

En vision de nuit, un autre système de cellules rétiniennes très sensibles se met en place, avec une courbe de réponse qui est décalée vers le bleu. Les deux courbes ne sont pas tracées à la même échelle sur la figure 2, en vision de nuit, après un long temps d’accoutumance dans l’obscurité, l’œil est, dit-on, capable de détecter les photons pratiquement un par un !

Au vu de ces courbes, il est donc important que les posemètres tiennent compte de ces paramètres physiologiques ; un même nombre de photons rouges à 700 nm ne produira pas le même effet sur l’œil qu’un nombre identique de photons jaunes-verts à 550 nm. Néanmoins pour la suite de notre article, pour simplifier, il suffira de raisonner sur un nombre de photons reçus, en imaginant par exemple qu’ils tombent tous à la même longueur d’onde.

1.2 Formule photométrique fondamentale

Bien entendu on photographie toujours une scène dont l’étendue des luminosités est plus ou moins grande, avec de nombreux détails qui font tout le charme de la photographie, mais pour ce qui nous intéresse ici on va supposer qu’on photographie un simple mur gris.

Sans rentrer dans les détails d’un cours de photométrie ou de sensitométrie, on va admettre que pour que l’exposition soit correcte, il faut que chaque centimètre carré de film ou de détecteur silicium reçoive une certaine quantité totale de lumière, appelée lumination(unités : lux . secondes), égale au produit de l’éclairement reçu au niveau de l’image par le temps de pose. En termes de photons, la lumination est simplement le décompte du nombre total de photons reçus par mètre carré d’image pendant la pose (plutôt : par centimètre carré pour les formats de dimension courante !). En termes d’énergie ce sera la dose intégrée reçue par unité de surface, si par exemple le flux solaire est de 350 watts par mètre carré, intégré sur une seconde cela donne une énergie de 350 joules par mètre carré, soit 35 millijoules par centimètre carré.

La grandeur physique qui définit la « luminosité » du sujet s’appelle sa luminance. On lira dans l’annexe technique la définition précise de la luminance en tant que grandeur photométrique fondamentale. Pour l’instant il suffit de dire que tous les murs gris que l’œil perçoit avec le même ton de gris, qu’ils soient placés loin ou proches de l’œil, correspondent à la même luminance lorsqu’il sont éclairés par la même source large et lointaine, par exemple le soleil.

Pour savoir si un carton gris (éclairé par exemple au soleil par réflexion) a la même luminance que le mur, ou pour savoir si un négatoscope sur lequel un film gris est placé a la même luminance que le mur éclairé par le soleil, c’est très simple. On place le carton ou le négatoscope devant le mur et on regarde s’il est plus ou moins clair que le mur ! Si le négatoscope est de luminosité réglable, il peut exister un réglage particulier du négatoscope pour lequel l’impression visuelle est la même que celle du mur : dans ces conditions le négatoscope éventuellement recouvert d’un film gris aura la même luminance que le mur éclairé par le soleil.

Une propriété très remarquable de la photométrie classique, du moins dans le cas où le mur et le carton ou la source de type« négatoscope » sont « mats » ou « diffusants » (sources dites « lambertiennes », émettant la lumière de la même façon dans toutes les directions), est la suivante : quelle que soit la distance à laquelle on place le carton vis à vis du mur, lorsque le carton a la même luminance que le mur l’œil ne fait plus la différence entre le carton et le mur... La luminance pour un objet mat est donc intrinsèque à cet objet, elle est perçue de la même façon par l’œil quelle que soit la distance, du moins tant que l’objet n’est pas réduit un point. Pour un objet réfléchissant, brillant ou poli, les choses sont plus compliquées car la « luminosité » de l’objet dépend de l’angle sous lequel on l’éclaire. Il suffit de penser au fameux « point chaud » qui se forme lors d’une projection sur un support brillant pour comprendre que la luminosité dans ce cas n’est plus intrinsèque à l’objet réfléchissant seul mais qu’elle dépend aussi de la dimension et de la position de la source ainsi que de l’angle d’incidence et de réflexion des rayons d’éclairage.

Si on appelle L la luminance d’une portion de l’objet, par exemple le mur gris, le modèle classique photométrique (réfs. [6] et [7]) appliqué à une lentille mince convergente nous permet de déterminer l’éclairement E₀ dans l’image du mur gris, (figure 3) au voisinage de l’axe optique, par la formule :

où

E₀ est l’éclairement reçu dans le plan image, au centre du champ au niveau de l’axe optique ; le produit E₀ × temps est la lumination qui permet de déterminer le noircissement du film ou le nombre de photo-électrons capturés par un pixel pendant la pose,

π = 3,141592..

T = facteur de transmission de l’objectif, liée à l’absorption et aux réflexions parasites, idéalement T=1 s’il n’y avait aucune absorption et aucune réflexion parasite,

L = la luminance de l’objet,

α′ le demi-angle sous lequel on voit, depuis le film, le diaphragme centré et placé tout contre la lentille mince.

On se reportera à l’annexe technique pour voir d’où vient cette formule, ainsi qu’une définition précise de ce qu’est la luminance, la grandeur photométrique à la fois la plus importante et la moins intuitive à comprendre.
Si a désigne le diamètre de ce diaphragme supposé idéalement circulaire, et d la distance entre le diaphragme et l’image, c’est à dire la distance entre la lentille mince et l’image (qui ne se forme au foyer que pour les objets lointains), la formule fondamentale de la photométrie devient, en calculant explicitement la valeur du sinus carré :

On définit le nombre d’ouverture « vrai » par

Ce qui permet d’écrire la formule photométrique de façon plus simple :

Comme un sinus est toujours plus petit que 1,

... du moins pour un système aplanétique fonctionnant dans l’air. En pratique on utilise la plupart du temps des objectifs dont le nombre d’ouverture est plus grand que 1, et on utilise une définition approchée du nombre d’ouverture par référence au diamètre de l’iris pour une lentille mince ou plus généralement par référence au diamètre des pupilles d’entrée et de sortie pour un système épais (voir plus bas au paragraphe 2.1).

Si on définit par N_eff le nombre d’ouverture effectif approché défini par N_eff = d/a, on trouve finalement la formule valable en toute généralité même pour un système épais :

Le point important dans cette formule (5), c’est que du côté objet, seule la luminance de la source intervient, la distance objet-appareil n’intervient pas, même la distance focale n’intervient pas directement. Ce qui explique que tous les objets de même luminance, exposés pendant le même temps de pose, vont donner sur le film la même lumination et donc le même noircissement local, ou le même nombre d’électrons par pixel (tant que le pixel reste plus petit que l’image de l’objet), et cela quelle que soit la distance à laquelle ces objets sont placés, du moment que la distance entre la lentille et le film ne bouge pratiquement pas ! (ce qui est le cas pour les objets lointains dont l’image se forme au foyer de l’objectif).

On lève ce paradoxe apparent de la façon suivante : si on éloigne l’objet en doublant la distance à l’appareil, son image voit son diamètre se réduire d’un facteur 2 environ derrière l’objectif, la quantité de lumière envoyée par l’objet, et qui rentre dans l’objectif diaphragmé va être divisée par quatre, mais l’image étant 4 fois plus petite en surface (l’objet étant 2 fois plus loin), l’éclairement qui est ramené à l’unité de surface ne va pas changer, on aura le même noircissement mais sur une plage plus petite de film. Seules les variations importantes de la distance objectif-film en macro-photo ont une influence sur la luminosité de l’image (voir plus bas a question du facteur de soufflet au paragraphe 1.6).

Dans le cas général d’un système épais, d va désigner la distance entre la pupille de sortie et l’image (voir plus bas la définition de la pupille de sortie au paragraphe 2.1), mais la formule (1) reste inchangée.

On remarquera que la formule photométrique fondamentale ne fait pas référence directement à la focale de la lentille mince, mais simplement à la distance entre la lentille (ou la pupille de sortie dans le cas général) et l’image.

Dans le cas où l’objet se situe très loin de la lentille, l’image se forme très près du foyer et on identifie alors d avec la focale f, le nombre d’ouverture effectif N_eff devient égal au nombre d’ouverture classique N_∞ = f/a, celui qui est gravé sur les échelles des objectifs et qui suppose sans le dire que l’image se forme au foyer parce que l’optique est réglée sur l’infini (le symbole ∞ est classiquement gravé sur les objectifs pour repérer la mise au point sur l’infini). Dans la suite on utilisera indifféremment N_∞ ou N pour désigner le nombre d’ouverture tel qu’il est gravé sur les bagues des objectifs.

Dès que ce nombre d’ouverture devient plus grand que 2, la quantité 1 + 4 N² peut être confondue avec N² ; pour N=2, l’écart relatif d’éclairement entre la formule exacte donnant 17 et la valeur approchée 16 n’est que de 6% ce qui équivaut à une correction inférieure au dixième de cran de diaphragme, en photo c’est parfaitement négligeable. Sachant que les nombres d’ouverture effectifs N_eff en proxiphoto sont toujours plus grands que N déterminé par la position infini-foyer, on voit qu’on peut sans crainte utiliser la formule approchée dans laquelle N_vrai est confondu avec N_eff :

La lumination reçue sera donc proportionnelle à l’inverse du carré du nombre d’ouverture effectif. En réintroduisant la surface S = πa²/4 du diaphragme supposé circulaire on trouve finalement pour l’éclairement au centre du champ :

Comme la plupart des diaphragmes ne sont pas circulaires, on déterminera en pratique une graduation de diaphragme en prenant pour le calcul du nombre d’ouverture, le diamètre d’un cercle de même surface que le polygone à côtés curvilignes habituel avec les diaphragmes à iris.

1.3 Nombre d’ouverture et ouverture numérique

On a vu que le nombre d’ouverture « vrai » était toujours plus grand que 0,5, on peut se demander à quoi correspond une ouverture de 0,5. Le cas-limite est celui où les rayons arrivent presque parallèles au détecteur, une telle situation qui, si elle est techniquement impossible à réaliser avec des lentilles, est réalisable avec un miroir parabolique. Mais ce système, malheureusement pour les photographes, n’est pas capable de donner des images nettes dès qu’on s’écarte de l’axe (aberration de coma du miroir parabolique utilisé hors de l’axe de révolution de la parabole).

Figure 5 : Un miroir parabolique peut réaliser un nombre d’ouverture inférieur 0,5, mais pas une optique aplanétique

Outre une très fameuse série d’objectifs de chez Carl Zeiss ouvrant à 0,7 (popularisés au cinéma par le film Barry Lyndon de Stanley Kubrick en 1975), on fabriquait à l’époque des oscilloscopes cathodiques, des objectifs spéciaux à grande luminosité pour l’enregistrement de traces uniques sur film classique ou sur support à développement instantané. Les optiques ouvrant à f/1 sont très courantes de nos jours sur les intensificateurs d’images pour la vision nocturne, aujourd’hui devenus très accessibles à l’amateur pour l’aider dans ses manipulations photographiques en chambre noire.

On peut également signaler les lentilles de Fresnel utilisées dans les verres de visée et dans les concentrateurs solaires dont l’ouverture peut atteindre N = 0,7.

1.4 Origine des graduations des diaphragmes

La première question qui se pose est de savoir comment graduer les diaphragmes. On aurait envie de partir d’une graduation proportionnelle à la quantité de lumière reçue (figure 6). En fait, l’expérience montre que pour qu’une gamme de gris apparaisse à l’œil comme bien étagée, il faut que la progression des luminances des différentes plages soit en progression géométrique, c’est à dire que d’une plage à l’autre on multiplie la quantité de lumière émise par le même facteur. Ou encore, en utilisant la notion de densité optique [8], que la progression des densités soit régulière, on passe d’une plage à l’autre par une même marche ou échelon de densité (figure 7).

Pour qu’une image sur film, sur support papier ou sur écran soit représentée de façon agréable en terme de gradation des niveaux de luminance, il convient de respecter cette progression géométrique des luminances. Il se trouve que pour le film, à condition de choisir un temps de pose correct, il est possible de transférer au moins une partie de la gamme des luminations (éclairements × temps de pose) à l’enregistrement, en une gamme de gris bien graduée sur le film (partie linéaire de la courbe caractéristique de noircissement dans le diagramme classique de Hurter et Driffield [9], voir figure 8).

On a une situation un peu analogue en acoustique : pour qu’on ait une impression de progression régulière sur le volume du son, il faut commander la puissance électrique en progression géométrique par un potentiomètre dit « logarithmique ». Ou encore, pour ce qui est de la progression des fréquences musicales dans une gamme tempérée, on passe d’une note au demi-ton supérieur en multipliant sa fréquence par le même facteur égal à 1,059 ((2)^1/12), d’un ton à un autre ton en multipliant par 1,122 ((2)^1/6).

Cette nécessité de régler les quantités de lumière reçues (les luminations) en progression géométrique, explique les graduations des vitesses, où on passe d’un cran à l’autre par multiplication ou division du temps de pose par un même facteur. On a décidé un peu arbitrairement que un cran entier de diaphragme ou de vitesses correspondrait à un facteur deux sur les luminations, donc pour que la lumination soit divisée par deux il faut que la quantité N_eff² soit multipliée par 2 ; autrement dit N_eff doit être multiplié par racine carrée de deux soit 1,414 ; ce qui revient à dire que pour doubler la lumination à temps de pose donné, le diamètre de l’iris doit être multiplié par √2, le nombre d’ouverture correspondant étant divisé par √2.

Le choix de ce facteur 2 comme base du « crantage » n’a rien de fondamental. On aurait pu choisir n’importe quel facteur pour cette progression des vitesses et des diaphragmes. En acoustique, le facteur 2 sur les fréquences dans une gamme musicale, l’octave, a une origine fondamentale liée aux différentes fréquences des modes d’oscillation d’une corde vibrante ; ce qui est connu, dit-on, depuis Pythagore lui-même. Mais pour ce qui est du volume sonore, comme pour le réglage de luminosité et des temps de pose en photographie, rien n’impose le facteur 2 comme unité du « crantage ».

On pourra se reporter à la notice Wikipédia en anglais pour plus d’informations concernant l’origine historique des graduations pour les nombres d’ouverture [10].

Les objectifs sont en général gradués pour la quantité N = N_∞ et non pas N_eff parce qu’on travaille en général en infini-foyer, ou du moins à des distances telles qu’il n’y a pas lieu de se préoccuper du facteur de soufflet (voir paragraphe 1.6) ; tant que les grandissements ne dépassent pas 0,2 = 1/5, la correction de facteur de soufflet est négligeable.

La série normalisée des diaphragmes est actuellement basée à partir de N=1 en progression géométrique de raison √2, c’est à dire qu’on obtient le cran de diaphragme immédiatement supérieur en multipliant N par 1,414 :

En réalité au lieu de 5,6, il faudrait lire : 5,7 ; au lieu de 11, il faudrait lire : 11,3 et au lieu de 22 : lire 22,6 ; mais ces valeurs arrondies sont consacrées par l’usage.

Certains objectifs de chambre sont gradués en tiers de diaphragme, on peut se demander pourquoi. La raison probable en est la corrélation avec les échelles de sensibilité ISO des films qui progressent par subdivisions en tiers de diaphragme également, l’origine étant dans la définition des échelles logarithmiques DIN (voir annexe technique).

Si on intercale une série par demi diaphragmes entre les valeurs normalisées, on tombe sur la série suivante, valeurs arrondies au dixième le plus proche :

La même table par tiers de diaphragmes :

1.5 Ouverture géométrique ou photométrique ?

À ce stade de la discussion il est bon de rappeler une petite subtilité qui date de l’époque où les zooms de cinéma avaient déjà beaucoup de lentilles mais pas forcément des traitement anti-reflets aussi efficaces qu’aujourd’hui. Il y avait deux échelles distinctes, une échelle photométrique correspondant au produit T / (4N²) pour tenir compte de ce que le facteur T pouvait être notablement inférieur à l’unité, et une autre échelle géométrique correspondant au terme 1 / (4 N²) ; c’est à dire graduée uniquement en fonction du nombre d’ouverture ou du diamètre de l’iris, et qui détermine la profondeur de champ. Les opérateur calaient donc leur pose sur l’échelle photométrique, mais estimaient la profondeur de champ sur l’échelle géométrique.

La quantité

est appelée nombre d’ouverture photométrique de l’objectif, et représente le nombre d’ouverture qu’aurait un objectif parfait fournissant le même éclairement, si son facteur de transmission était de 100%.

Sur les objectifs de chambre modernes traités multi-couches dont le nombre de lentilles dépasse rarement 6 à 8 il n’y a pas lieu de se préoccuper de cette distinction, sur les zooms de petit et moyen format à grand nombre de lentilles, la prudence s’impose, mais dans les boîtiers automatiques dont les objectifs transmettent l’indication de diaphragme au calculateur de pose, il est parfaitement possible de tenir compte précisément du facteur T pour chaque objectif, et comme les échelles de profondeur de champ ont tendance à disparaître sur les appareils « modernes », la question n’est plus d’actualité. Mais il faut garder à l’esprit que le facteur T peut parfois, pour une optique ancienne, jouer des tours dans la détermination de la quantité effective de lumière qui atteint le film. Bien entendu si un filtre est placé devant l’objectif, le coefficient T va s’identifier avec l’inverse du coefficient prolongateur (multiplicateur) de temps de pose pour ce filtre.

Table de correspondance entre les coefficients prolongateurs de pose et les crans de diaphragme suivant les formules :

1.6 Facteur de soufflet en macro, dans le modèle de la lentille mince

On appel facteur de soufflet (F.S.) le coefficient multiplicatif à appliquer au temps de pose pour garder la même lumination, afin de compenser la perte d’éclairement dans l’image due à l’augmentation du tirage total objectif-film d ; en d’autres termes, le fait que N_effest plus grand que N lorsque l’objet est à distance finie.

Ce coefficient F.S. est égal à

où ext est l’extension supplémentaire du tirage en macro par rapport à la position infini-foyer,
d = f + ext.

Les lois de Descartes pour la lentille mince nous disent que l’extension de tirage ext est reliée au grandissement G par la formule :

ce qui donne une autre expression du facteur de soufflet dans le modèle de la lentille mince :

En particulier en position 2f-2f, on a : d=2f, ext = f, G=1 ; le facteur de soufflet F.S devient dans ces conditions égal à 2² = 4, soit + 2 crans de diaphragme.

2 Pupille d’entrée et pupille de sortie dans une optique épaisse

2.1 Définition des pupilles

Pour introduire la notion de pupilles, nul besoin d’aller chercher un système optique compliqué ni de s’équiper d’un logiciel de simulation. Il suffit par exemple de repartir d’une lentille simple diaphragmée (figure 12) et d’écarter progressivement vers l’avant le diaphragme de la lentille (figure 13).

Dans la lentille simple avec diaphragme accolé, il n’y a pas lieu de distinguer l’iris des images qu’en donne la lentille, car les plans principaux d’une lentille mince étant confondus avec le plan de la lentille elle-même, qu’on regarde l’iris de quelque façon que ce soit, l’image qu’on en voit est identique à l’iris lui-même.

Écartons progressivement le diaphragme vers l’avant en le gardant bien centré sur l’axe, et supposons pour commencer que la monture de la lentille est assez grande. On peut montrer que dans ce système c’est bien entendu toujours le diaphragme qui va limiter les faisceaux utiles et la luminosité de l’objectif ainsi constitué. Mais la différence par rapport à la lentille simple avec iris accolé c’est que les deux images du diaphragme données par la lentille vers l’avant et vers l’arrière ne sont plus confondues.

Par définition on appellera pour un système épais quelconque :

• pupille d’entrée : l’image du diaphragme donnée vers l’avant par la partie avant du système optique,

• pupille de sortie : l’image du diaphragme donnée vers l’arrière par la partie arrière du système optique.

Dans le cas particulier de la figure 13, la pupille d’entrée est confondue avec le diaphragme lui-même, la pupille de sortie est donnée par un tracé de rayons classique. Dans l’exemple de la figure 13, on a placé le diaphragme à une demi-distance focale en avant de la lentille ; vue de l’arrière, l’image du diaphragme est virtuelle et elle est située à une fois la distance focale en avant de la lentille (c’est bien entendu un cas particulier pour notre démonstration). On remarque également que la pupille de sortie a un diamètre différent de celui de la pupille d’entrée, dans le cas présent, deux fois plus grand.

La pupille d’entrée limite les rayons acceptables par le système, et les propriétés fondamentales des pupilles sont :

• vue du film, la pupille de sortie est parmi les images de tout ce qui limite le diamètre des lentilles celle dont le diamètre est vu sous l’angle le plus petit ; sauf erreur dans la conception de l’objectif, c’est le diaphragme-iris réglable qui doit évidement jouer ce rôle ; tout rayon passant par la pupille d’entrée, et qui n’est pas intercepté par d’autres montures de lentilles dans l’objectif, repasse par la pupille de sortie et contribue à former l’image.

La figure suivante (figure 14) montre un tracé plus détaillé avec l’interception possible des rayons inclinés par la monture de la lentille. La lumière n’étant jamais totalement absorbée, elle peut être réfléchie et diffusée à l’intérieur de l’objectif et finir par sortir vers le film ou le détecteur, il y a là une source de lumière parasite diffuse qui affecte même les meilleurs objectifs.

Ci-dessous (figure 15) on a pris un exemple plus intéressant pour le photographe, celui d’une formule Tessar à 4 lentilles en 3 groupes, des rayons trop inclinés qui ont réussi à entrer dans l’objectif sont finalement interceptés par le diaphragme (ou plus généralement par les montures des lentilles).

Dans un Tessar, les deux pupilles sont situées à l’intérieur de l’objectif, très près de l’iris lui-même, leur diamètre est très proche de celui de l’iris.

Dans tous les objectifs photographiques, il existe toujours une inclinaison maximale admissible pour les rayons, en entrée et donc en sortie, qui va définir le champ de vision utile de l’objectif côté objet et la surface effectivement éclairée dans l’image. C’est à dire du côté de l’objet l’ensemble des points de la scène capables de former une image sur le film ou le détecteur. À l’ensemble de ces points-objets correspond l’ensemble des points-images appelé champ total. On dit qu’un point de l’image est à l’intérieur du champ total s’il y a au moins un rayon qui relie l’objet à l’image en passant à travers tout l’objectif sans être intercepté par une monture ou par le diaphragme. Lorsque tous les rayons délimités par le diaphragme arrivent dans l’image, on dit qu’on est dans le champ de pleine lumière. Si le cône de rayons est délimité à la fois par le diaphragme et le bord d’une monture de lentille, la luminosité de l’image disparaît rapidement, on dit qu’on est dans le champ de contour (figure 16).

Pour les anciens objectifs, la qualité d’image chutait rapidement avant qu’on n’ait atteint le champ de contour, mais avec les objectifs de chambre modernes on peut utiliser l’image pratiquement jusqu’au début du champ de contour avec une perte de qualité minime. Dans les photos du "Vieux Paris" d’Eugène Atget, on voit souvent en haut de l’image un cercle noir qui est la limite du champ total de l’objectif. Atget décentrait le plus possible pour garder les verticales des édifices parallèles dans l’image, mais il n’avait pas à sa disposition les optiques grand-angulaires modernes permettant une marge de décentrement considérable.

À l’intérieur du champ de pleine lumière, la luminosité de l’image n’est pas uniforme, l’analyse de ce phénomène fera l’objet d’un article séparé.

Dans un premier temps, on va négliger le fait que la qualité d’image diminue toujours en bord de champ, on ne prendra en compte que les tracés symboliques des rayons d’après les éléments cardinaux (plans principaux et foyer) sans tenir compte des aberrations.

On doit donc faire confiance aux ingénieurs pour avoir placé le diaphragme correctement, ce n’est pas une affaire simple, disons qu’en général dans les optiques de chambre quasi-symétriques, l’iris est placé au centre de symétrie du système, un endroit où très souvent dans les optiques photographiques les faisceaux sont de plus petit diamètre. Dans un objectif dissymétrique comme un télé-objectif, le placement du diaphragme ne peut donc plus obéir à cette règle simple d’être placé au « centre de symétrie » qui est l’emplacement privilégié du diaphragme [11] dans les systèmes quasi-symétriques ; en revanche il est avantageux pour minimiser le diamètre de l’obturateur de placer le diaphragme à l’endroit où le faisceau est le plus petit possible. Mais le placement du diaphragme dans une optique dissymétrique obéit à d’autres contraintes et compromis, en particulier concernant la réduction des aberrations et de la distorsion.

La pupille d’entrée étant l’image de l’iris vers l’avant, donnée par le demi-système antérieur, la pupille de sortie étant l’image de l’iris par le demi-système arrière, la pupille de sortie est donc l’image de la pupille d’entrée vue à travers la totalité du système.

Dans le cas général, il n’est pas possible de savoir où sont placées les pupilles sauf en lisant les documentations du constructeur ou en faisant une photographie de ces images du diaphragme avec un autre appareil photo équipé d’une graduation de distances.

Figure 25 :
Avec une formule très dissymétrique comme le Télé-Arton de 360 mm
(focale réelle = 353 mm), on s’écarte résolument du modèle de la lentille mince. Les plans principaux sont très éloignés l’un de l’autre et très éloignés de la planchette ; le plan principal objet H est situé dans l’air à 137 mm devant la première lentille, le plan principal image H’ est également situé dans l’air, en avant de l’objectif, à 63 mm devant la première lentille. Les pupilles ne sont plus situées aux plans principaux, il s’en faut de beaucoup : ici la pupille d’entrée est située un peu derrière la planchette, assez profond à 130 mm derrière la première lentille, à 6 mm derrière la lentille de sortie. La pupille de sortie est située devant la pupille d’entrée, dans l’obturateur, très près de l’iris, environ à 10 mm devant la planchette. Pour ce télé-objectif, le grandissement pupillaire est plus petit que l’unité, il vaut environ 0,57.

Dans le cas particulier de la figure 13, le tracé de rayons nous permet de montrer que la pupille de sortie se trouve vers l’avant, que son diamètre est plus grand que celui de la pupille d’entrée ; de façon générale ce sera le prolongement des rayons en sortie qui semblent provenir de la pupille de sortie.

Par définition, on appellera grandissement pupillaire G_p le rapport des diamètres des pupilles, sachant que ce grandissement est défini comme pour les images comparées à l’objet (voir figure 26) :

Par exemple sur les figures (13) et (14), l’emplacement particulier du diaphragme à une demi-distance focale en avant de la lentille conduit à un grandissement pupillaire égal à 2. Pour le Tessar de la figure (15) le grandissement pupillaire est très voisin de l’unité, il vaut 0,91.

2.2 Lien entre grandissement pupillaire et position des pupilles

Les pupilles sont images l’une de l’autre à travers le système. Donc leurs positions obéissent aux formules de conjugaison, leurs dimensions sont liées à leurs positions comme pour n’importe quelle image. Ces formules sont données dans l’annexe technique, mais on peut ici mentionner les résultats intéressants.

1. si le grandissement pupillaire est égal à un, les pupilles sont placées dans les plans principaux ;

2. pour un grandissement pupillaire supérieur à 1, la pupille de sortie est située en avant du plan principal image ; c’est le cas des grand-angulaires de formule « rétrofocus » ;

3. pour un grandissement pupillaire inférieur à 1, la pupille de sortie est située en arrière du plan principal image ; c’est le cas de certaines longues focales de formule « télé-objectif ».

Par exemple dans le Tessar de la figure 15, le grandissement pupillaire est de 0,91 ; les pupilles sont placées très près des plans principaux H et H’. On remarque que dans ce Tessar les plans principaux sont croisés (H’ est devant H), les deux pupilles tombent très près l’une de l’autre, et elles sont croisées également.

Un autre résultat très remarquable est le suivant : si un objectif est parfaitement symétrique avec l’iris placé au centre de symétrie, le grandissement pupillaire est égal à un et les pupilles qui sont les images de l’iris vers l’avant et l’arrière sont placées dans les plans principaux.

La démonstration de cette propriété se fait sans calcul grâce à un tracé de rayons très simple (figure 27).

On trace un rayon passant par le centre O du diaphragme qui est dans ce cas le centre de symétrie du système. Vers l’avant et vers l’arrière après réfraction, les deux rayons ont évidemment une inclinaison α différente de celle du rayon central, mais la symétrie impose que ces angles soient identiques en entrée et en sortie. En prolongeant ces rayons jusqu’à ce qu’ils coupent l’axe optique aux points N et N′, on obtient par définition les points nodaux de l’objectif puisque les angles d’inclinaison hors de l’optique, côté objet ou côté image, sont identiques. Dans notre cas avec l’iris placé au centre de symétrie ces points N et N′ sont également l’endroit où l’image du centre du diaphragme se forme. Si le système est dans l’air, points nodaux N et N′ et points principaux H et H′ sont confondus, d’après une propriété très générale des systèmes centrés indépendante du degré de symétrie du système. On en déduit d’après la propriété des plans principaux, pour lesquels le grandissement image/objet est égal à l’unité, que les deux pupilles sont de même diamètre et qu’elles sont situées dans les plans principaux, les centres des pupilles coïncident avec les points nodaux.

Tous les objectifs de chambre de formule quasi-symétrique ont un grandissement pupillaire très voisin de 1 et donc leurs pupilles sont situées très près des plans principaux. De même, le Tessar, bien de que de formule dissymétrique, a un grandissement pupillaire proche de l’unité. Pour tous ces objectifs, tout ce qu’on sait de la lentille mince à diaphragme accolé (figure 12) est applicable pratiquement sans restriction. Seul l’écart entre plans principaux modifie un tout petit peu les tracés de rayons, mais le comportement du système lorsqu’on le diaphragme, tout ce qui se passe en avant du plan principal objet et en arrière du plan principal image, que ce soit pour le facteur de soufflet ou la profondeur de champ, est exactement identique à celui de la lentille mince. Par exemple pour le Tessar de la figure 15, l’écart entre plans principaux n’est que de 2% de la distance focale du système, l’épaisseur totale entre le sommet de la première lentille et le sommet de la dernière lentille étant égal à 31% de la focale.

Seuls les objectifs dissymétriques à grandissement pupillaire notablement différent de l’unité, par exemple les rétrofocus, les télé-objectifs (ou les zooms en général) seront représentés par des formules photométriques plus complexes où entre en jeu le grandissement pupillaire.

2.3 Formules photométriques et nombre d’ouverture dans le cas général

Dans le cas général d’un système épais défini par son grandissement pupillaire G_p on a les propriétés suivantes :

• la formule fondamentale de la photométrie (équation 3) reste valable à condition que l’angle α′ soit mesuré de l’axe jusqu’au bord de la pupille de sortie, figure 28 ;

• la définition du nombre d’ouverture N = N_∞ reste inchangée à condition de prendre en compte le diamètre a de la pupille d’entrée, sous la forme :
  N = N_∞ = f / a, f étant la focale.

Les formules générales pour le facteur de soufflet dans une optique dissymétrique sont les suivantes :

où G est le grandissement (image/objet) en valeur absolue et G_p est le grandissement pupillaire.

Ce grandissement pupillaire est une donnée fixe pour un objectif de focale fixe à groupes optiques fixes, donc il suffit de le connaître d’après les documentations du constructeur ou de le mesurer. Mais pour un zoom, il peut changer lorsque la focale change, car les pupilles et les plans principaux se déplacent à cause du déplacement des groupes de lentilles mobiles. Par exemple, un zoom « trans-standard » se comportera comme un rétrofocus de grandissement pupillaire plus grand que l’unité en position grand-angle, et comme un télé-objectif de grandissement pupillaire plus petit que l’unité en longue focale.

En position 2f-2f, comme d’habitude on a G = 1, ceci reste valable quelle que soit la formule optique. Et si G_p = 1 comme dans une lentille mince diaphragmée en son centre ou comme dans une optique symétrique, la formule générale (14) redonne la formule classique F.S. = (G+1)².

Cette formule générale résulte de la loi des sinus d’Abbe et des formules de conjugaison pour les pupilles, elle est démontrée dans l’annnexe technique et est identique à celle de l’ouvrage de référence de L. Lefkowitz [13].

Figure 29 : Focalisation du Télé-Arton, de 360 mm (353 mm) de focale en infini-foyer, puis au grandissement G=0,25. En position infini-foyer, le tirage optique est de 210 mm environ, ce qui permet d’utiliser cette longue focale sur une chambre qui ne dispose pas d’un grand tirage.C’est tout l’intérêt d’une formule télé-objectif. Dès qu’on cherche à focaliser sur des objets proches, la formule du grandissement ext=G f s’applique de la même façon qu’avec une formule quasi-symétrique, les allonges de soufflet deviennent à nouveau importantes, l’extension au-delà du foyer étant en proportion directe de la focale, et il n’y a plus alors grand gain à utiliser un télé-objectif, le seul gain est sur le tirage de départ, le tirage mécanique en infini-foyer.

Le diagramme suivant (figure 30) permet de comparer la correction d’exposition ou facteur de soufflet à apporter en fonction du grandissement pour différentes optiques, les télés, les symétriques et les rétro-focus. Aux très petits grandissements, en-dessous de 0,1 soit pour un objet situé à 11 fois la focale en avant de l’objectif, donc pour les objets à grande distance, ces corrections sont faibles dans les trois cas. Mais dès que l’objet se rapproche, les courbes sont franchement distinctes. Par exemple pour le Schneider Télé-Arton de 360 mm dont le grandissement pupillaire est de 0,57 environ, au rapport G=0,5 (l’objet étant situé environ à 3 fois la distance focale, soit un peu plus d’un mètre pour un 360 de focale) l’écart de correction par rapport à l’optique symétrique est presque de 1/2 diaphragme, ce n’est pas négligeable. La correction totale étant de 1 diaph 2/3. Pour un rétro-focus de grandissement pupillaire égal à 1,8 (cas du Distagon Zeiss f/4 de 50 mm, voir plus bas) on constate que les corrections du facteur de soufflet sont inférieures à un demi-diaphragme environ en-dessous du grandissement 0,5.

 

Figure 30 : Facteurs de soufflet pour les optiques épaisses dissymétriques

2.4 Nombre d’ouverture et facteur de soufflet pour une optique montée à l’envers

La fait que le nombre d’ouverture soit défini par le diamètre de la pupille d’entrée a une conséquence curieuse, c’est que l’objectif, s’il est de grandissement pupillaire différent de l’unité, peut voir son nombre d’ouverture changer lorsqu’on l’utilise à l’envers.

Pour cela, partons d’un objectif dissymétrique comme un grand-angulaire rétrofocus pour appareil reflex ; pour préciser les idées nous partirons d’un exemple réel, le Distagon Zeiss f/4 de 50 mm à groupes fixes.

Lorsqu’on monte cet objectif à l’envers, le nombre d’ouverture devient 2,2. Mais l’optique une fois inversée devient inutilisable pour de la photo à grande distance, car son foyer objet, qui devient foyer image une fois inversé, tombe dans les verres ! De plus, même si on pouvait accéder à l’image, la qualité ne serait pas au rendez-vous, l’objectif n’ayant évidemment pas été conçu pour être utilisé à l’envers. Néanmoins on pourrait en principe utiliser ce Distagon à l’envers pour faire de la macro-photo, l’image se formant alors au-delà du foyer avec un grandissement notablement supérieur à l’unité.

Monter une optique à l’envers est une solution permettant d’atteindre les grandissements supérieurs à l’unité à partir d’une optique dissymétrique courante prévue pour travailler avec des sujets lointains. Si l’optique est parfaitement symétrique comme un apochromatique classique de banc de reproduction, nul besoin d’inverser cet objectif à cause de la symétrie.

Le facteur de soufflet pour une optique dissymétrique inversée est donné par la formule suivante, qui donne la correction totale à appliquer sur la base d’une mesure faite avec un posemètre indépendant, en lisant les graduations de diaphragme sur l’objectif (lesquelles ne correspondent plus au véritable nombre d’ouverture inversé) :

où G est le grandissement (image/objet) dans les conditions de travail, par exemple 4x pour une image 4 fois plus grande que l’objet et G_p le grandissement pupillaire d’origine, celui de l’objectif donné par le constructeur lorsqu’il est non inversé (par exemple : G_p=1,8 pour le Distagon Zeiss de la figure 31).

Conclusion

Au terme de cet article nous avons mis en place la notion de pupille dans un objectif photographique. Au contraire des plans principaux qui sont une entité géométrique difficile à appréhender, les pupilles sont, en fait, ce que nous voyons du diaphragme d’un objectif dans l’usage courant. Certes on ne peut pas toucher ces pupilles, mais on peut les mesurer, par exemple en en prenant une photo. On peut déterminer leurs positions également par une visée optique ou par le calcul mais il faut alors connaître l’ensemble des caractéristiques des lentilles composant le système, ces données sont décrites dans les brevets. La plupart des fournisseurs d’objectifs à usage professionnel publient dans leurs fiches techniques les données concernant les dimensions et positions des pupilles.

La plupart des optiques de chambre y compris les grand-angulaires à l’exception des télé-objectifs (les rétro-focus sont quasi inexistants parmi les objectifs grand format [14]) sont des formules quasi-symétriques pour lesquelles le modèle de la lentille mince s’applique assez bien. Le modèle s’applique également assez bien aux formules faiblement dissymétriques comme les Tessars.

La conséquence est que les formules classiques du facteur de soufflet valables pour les optiques symétriques décrivent correctement presque toute la réalité des optiques utilisées en grand format en photo rapprochée, l’exception étant là encore les télé-objectifs. Mais avec un télé-objectif, pour que la formule simplifiée tombe en défaut, il faudrait travailler en proxiphoto, ce qu’on ne fait en général jamais avec ce genre d’objectif.

Remerciements

Cet article n’existerait pas sans de nombreuses discussions avec Yves Colombe. Le point de départ fut la question du meilleur point de rotation pour un appareil photo ordinaire lorsqu’on cherche à faire du raccordement panoramique d’images, ce meilleur point étant la pupille d’entrée de l’objectif. Clarifier cette question dont les explications sont probablement enfouies dans de vieux livres d’optique instrumentale oblige donc à revoir ce que sont les pupilles d’un système optique. Il est étonnant que des notions, a priori utiles aux seuls ingénieurs en optique, aient pu « descendre » jusqu’au grand public... merci Internet ! La discussion de départ avec Yves Colombe se trouve dans les archives [15] du forum http://galerie-photo.info.

L’analyse de ce problème de raccordement panoramique et le rôle joué par la pupille d’entrée dans le rendu de perspective fera l’objet d’un autre article.

Notes et Références

Version du 28 octobre 2011

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